函数的单调性与曲线的凹凸

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函数单调性的判别法 单调区间求法 小结 作业 第四节 函数的单调性与 曲线的凹凸性 曲线凹凸性的判别法 曲线的拐点及其求法 第三章 微分中值定理与导数的应用 定理1 单调增加 单调减少 一 单调性的判别法 函数的单调性与曲线的凹凸性 0 1 xfba内如果在 证 拉氏定理 1 2 此定理不论对于开 闭 有限或无穷 区间都正确 注 函数的单调性与曲线的凹凸性 例 解 函数的单调性与曲线的凹凸性 定义域为 方法 问题 如上例 函数在定义区间上不是单调的 定义 若函数在其定义域的某个区间内是单调的 然后判定区间内导数 的符号 的分界点 函数的单调性与曲线的凹凸性 二 单调区间求法 但在各个部分区间上单调 则该区间称为函数的单调区间 导数等于零的点和不可导点 可能是单调区间 函数的单调性与曲线的凹凸性 例 解 定义域 单调区间为 例 解 单调区间为 函数的单调性与曲线的凹凸性 定义域 区间内有限个或无穷多个离散点处导数为零 如 注 不影响区间的单调性 函数的单调性与曲线的凹凸性 单调增加 又如 内可导 且 等号只在 无穷多个离散点 处成立 故 内单调增加 例 证 函数的单调性与曲线的凹凸性 例 证 定不出符号 函数的单调性与曲线的凹凸性 函数的单调性与曲线的凹凸性 证 若令 则只须证明单调增加 而 拉氏定理 单调增加 从而 函数的单调性与曲线的凹凸性 concave and convex 三 曲线凹凸性的判别法 函数的单调性与曲线的凹凸性 1 定义 如何研究曲线的弯曲方向 定义1 恒有 凹 凸 函数的单调性与曲线的凹凸性 图形上任意弧段 位于所张弦的下方 图形上任意弧段 位于所张弦的上方 曲线弧上每一点的切线 定义2 上 方 称为凹 弧 凸 凹弧的曲线段 的切线斜率是单增的 是单增的 凸弧的切线斜率是单减的 是单减的 而 利用二阶导数判断曲线的凹凸性 从几何直观上 随着x的增大 都在曲线的下 函数的单调性与曲线的凹凸性 定理2 二阶导数 凹 凸 函数的单调性与曲线的凹凸性 2 凹凸性的判别法 证 即 这说明切线位于曲线的下方 泰勒公式 即f x 是凹的 函数的单调性与曲线的凹凸性 即 例 证 设 函数的单调性与曲线的凹凸性 图形是凹的 利用函数图形的凹凸性证明不等式 例 解 注 凸变凹的分界点 函数的单调性与曲线的凹凸性 1 定义 连续曲线上凹凸的分界点称为曲线的 拐点 几何上 函数的单调性与曲线的凹凸性 四 曲线的拐点及其求法 inflection point 拐点处的切线必在拐点处穿过曲线 拐点的第一充分条件 2 拐点的求法 拐点也可能出现在二阶导数不存在的点处 拐点的必要条件具有二阶导数 则点 1 2 函数的单调性与曲线的凹凸性 是拐点的必要条件为 或x0为二阶导数不存在的点 例 解 拐点 拐点 不存在 定义域为 1 2 3 列表 函数的单调性与曲线的凹凸性 例 解 拐点的第二充分条件 函数的单调性与曲线的凹凸性 证 法一 用单调性证 法二 用凹凸性证 例 设则 即 函数的单调性与曲线的凹凸性 函数的单调性与曲线的凹凸性 五 小结 单调性的判别是拉格朗日中值定理的重要 应用 单调性的应用 改变弯曲方向的点 凹凸性 拐点 利用函数的单调性可以确定某些方程实根 的个数和证明不等式 研究曲线的弯曲方向 凹凸性的应用 利用凹凸性证明不等式 证 只要证 令 则 所以 即 有 得 函数的单调性与曲线的凹凸性 练习题 作业 习题3 4 152页 3 奇 4 5 2 4 5 8 1 3 函数的单调性与曲线的凹凸性 9 1 3 4 11 12 13
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